Resolução de Equações Logarítmicas - Passo a Passo - CLASSE TECH

Os logaritmos são ferramentas poderosas em matemática, utilizadas para simplificar cálculos e resolver problemas que envolvem crescimento exponencial, decaimento, e muito mais. No entanto, lidar com equações logarítmicas pode parecer desafiador à primeira vista.

Aqui, você aprenderá a:

Identificar os tipos de equações logarítmicas.
Aplicar as propriedades fundamentais dos logaritmos.
Resolver as equações passo a passo, com exemplos detalhados.

Seja você um estudante se preparando para provas ou apenas buscando entender melhor esse conceito, nossa abordagem detalhada e objetiva vai facilitar sua jornada no estudo dos logaritmos.

Exercícios Resolvidos

Exercício 01:

Considere a e b números reais positivos e:

[latex]\log a = 2[/latex]
[latex]\log b = 3[/latex]

O valor de [latex]\log_a \left( a \cdot b^2 \right)[/latex] é igual a:

Resolução:

Relembrando a definição de logaritmo na base aaa:

[latex]\log_a(x) = \frac{\log(x)}{\log(a)}[/latex]

Expandindo o logaritmo:

[latex]\log_a(a \cdot b^2) = \log_a(a) + \log_a(b^2)[/latex]

Sabemos que:

[latex]\log_a(b^2) = 2 \cdot \log_a(b)[/latex]

Substituímos isso na expressão:

[latex]\log_a(a \cdot b^2) = \log_a(a) + 2 \cdot \log_a(b)[/latex]

Substituindo a definição de logaritmo:

[latex]\log_a(a \cdot b^2) = \frac{\log(a)}{\log(a)} + 2 \cdot \frac{\log(b)}{\log(a)}[/latex]

O termo [latex]\frac{\log(a)}{\log(a)}[/latex] é igual a 1, já que estamos dividindo dois valores iguais.

Simplificando a expressão:

[latex]\log_a(a \cdot b^2) = 1 + 2 \cdot \frac{\log(b)}{\log(a)}[/latex]

Substituindo os valores fornecidos no problema, onde [latex]\log a = 2[/latex] e [latex]\log b = 3[/latex]:

[latex]\log_a(a \cdot b^2) = 1 + 2 \cdot \frac{3}{2}[/latex]

Resposta Final:

[latex]\log_a(a \cdot b^2) = 1 + 3 = 4[/latex]

Resposta Final:

[latex]\boxed{4}[/latex]

Exercício 02:

Determinada espécie de eucalipto apresenta uma relação que interliga seu tamanho (altura) com seu tempo de plantio, dada por:

[latex]h(t) = 26 + \log_3 (1,5t)[/latex],

em que [latex]h(t)[/latex] é a altura dada em metros, e [latex]t[/latex] indica o tempo em anos. Nesse caso, qual é o tempo necessário (em anos) para que a árvore de eucalipto atinja a altura de 28 m?

Substituímos o valor da altura [latex]h(t) = 28[/latex] na equação:

[latex] 28 = 26 + \log_3(1,5t) [/latex]

Isolamos o logaritmo:

[latex] 28 - 26 = \log_3(1,5t) [/latex]

[latex] 2 = \log_3(1,5t) [/latex]

Relembrando a definição de logaritmo:

[latex] \log_3(x) = y \implies 3^y = x [/latex]

[latex] 3^2 = 1,5t [/latex]

Portanto:

[latex] 9 = 1,5t [/latex]

Isolamos [latex]t[/latex]:

[latex] t = \frac{9}{1,5} [/latex]

Portanto:

[latex] t = \frac{90}{15} = 6 [/latex]

Resposta Final:

Para que a árvore atinja 28 metros, o tempo necessário é aproximadamente 6 anos (a).

Exercício 03:

Usando as propriedades operatórias dos logaritmos e dados que:

[latex]\log 2 = 0,3[/latex] e [latex]\log 3 = 0,48[/latex]

Calcule o valor de [latex]\log 0,72[/latex].

Reescrevemos [latex]\log 0,72[/latex] como:

[latex]\log 0,72 = \log \frac{72}{100}[/latex]

Utilizamos a propriedade [latex]\log \frac{a}{b} = \log a - \log b[/latex]:

[latex]\log 0,72 = \log 72 - \log 100[/latex]

Decompondo [latex]\log 72[/latex]:

Sabemos que [latex]72 = 2^3 \cdot 3^2[/latex], então:

[latex]\log 72 = \log(2^3 \cdot 3^2)[/latex]

Usamos a propriedade [latex]\log(ab) = \log a + \log b[/latex]:

[latex]\log 72 = \log 2^3 + \log 3^2[/latex]

Agora aplicamos a propriedade [latex]\log a^n = n \cdot \log a[/latex]:

[latex]\log 72 = 3 \cdot \log 2 + 2 \cdot \log 3[/latex]

Substituímos os valores conhecidos:

[latex]\log 72 = 3 \cdot 0,3 + 2 \cdot 0,48[/latex]

[latex]\log 72 = 0,9 + 0,96 = 1,86[/latex]

Calculando [latex]\log 100[/latex]:

Sabemos que [latex]100 = 10^2[/latex], então:

[latex]\log 100 = \log 10^2 = 2 \cdot \log 10[/latex]

Como [latex]\log 10 = 1[/latex]:

[latex]\log 100 = 2 \cdot 1 = 2[/latex]

Substituímos os valores em [latex]\log 0,72[/latex]:

[latex]\log 0,72 = \log 72 - \log 100[/latex]

[latex]\log 0,72 = 1,86 - 2[/latex]

[latex]\log 0,72 = -0,14[/latex]

Resposta Final:

[latex]\boxed{-0,14}[/latex]

Exercício 04:

O conjunto solução da equação: [latex]\log_4 x + \log_x 4 = \frac{5}{2}[/latex] é tal que a soma de seus elementos é igual a:

Substituímos [latex]\log_4 x[/latex] por [latex]t[/latex], usando a propriedade de mudança de base:

[latex]\log_x 4 = \frac{1}{\log_4 x} = \frac{1}{t}[/latex]

A equação inicial é:

[latex]\log_4 x + \log_x 4 = \frac{5}{2}[/latex]

Começamos identificando que [latex]\log_4 x[/latex] e [latex]\log_x 4[/latex] são recíprocos entre si, ou seja, [latex]\log_x 4 = \frac{1}{\log_4 x}[/latex]. Essa relação é uma propriedade dos logaritmos e será usada a seguir.
Substituímos [latex]\log_x 4[/latex] por [latex]\frac{1}{\log_4 x}[/latex]:

[latex]\log_4 x + \frac{1}{\log_4 x} = \frac{5}{2}[/latex]

Agora fazemos uma substituição para simplificar a equação. Seja:

[latex]\log_4 x = t[/latex]

Com isso, temos:

[latex]t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}[/latex]

Assim, a equação se torna:

[latex]t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}[/latex]

Multiplicamos toda a equação por [latex]t[/latex] para eliminar o denominador:

[latex]t^2 + 1 = \frac{5}{2}t[/latex]

Reorganizamos para formar uma equação quadrática:

[latex]2t^2 - 5t + 2 = 0[/latex]

Resolvemos a equação quadrática com a fórmula de Bhaskara:

[latex]t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}[/latex]

Substituímos os valores: [latex]a = 2[/latex], [latex]b = -5[/latex], [latex]c = 2[/latex].

[latex]t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}[/latex]

[latex]t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}[/latex]

[latex]t = \frac{5 \pm 3}{4}[/latex]

As soluções são:

[latex]t_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2[/latex]

[latex]t_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}[/latex]

Voltamos para [latex]\log_4 x = t[/latex]:

Para [latex]t = 2[/latex]:

[latex]\log_4 x = 2 \implies x = 4^2 = 16[/latex]

Para [latex]t = \frac{1}{2}[/latex]:

[latex]\log_4 x = \frac{1}{2} \implies x = 4^{1/2} = \sqrt{4} = 2[/latex]

O conjunto solução é [latex]{2, 16}[/latex]. A soma dos elementos é:

[latex]2 + 16 = 18[/latex]

Exercício 05:

Resolva a seguinte expressão utilizando as propriedades dos logaritmos e valores conhecidos:

[latex] y = \log 100 - \log 5 + \log 2 + \ln e^2 [/latex]

Substituímos valores conhecidos:

[latex] \log 100 = 2 \quad \text{(pois } 100 = 10^2\text{)}, \quad \ln e^2 = 2 \quad \text{(pois } \ln e^2 = 2 \cdot \ln e = 2 \cdot 1\text{)}. [/latex]

Substituímos na expressão original:

[latex] y = 2 - \log 5 + \log 2 + 2. [/latex]

Aplicamos a propriedade dos logaritmos:

Usamos [latex] \log a + \log b = \log (a \cdot b) [/latex]:

[latex] \log 5 + \log 2 = \log (5 \cdot 2) = \log 10. [/latex]

Assim, a expressão se torna:

[latex] y = 2 - \log 10 + 2. [/latex]

Substituímos [latex] \log 10 = 1 [/latex]:

[latex] y = 2 - 1 + 2. [/latex]

Somamos os valores:

[latex] y = 3. [/latex]

Resposta Final

[latex] \boxed{y = 3} [/latex]

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