FMTM 2002 — Crescimento bacteriano: em quanto tempo 10 000 → 30 000?

[latex] t=\dfrac{\log 3}{\log 1{,}2}. [/latex]

4) Desenvolvendo log⁡1,2\log 1{,}2log1,2

[latex] 1{,}2=\dfrac{12}{10}\ \Rightarrow\ \log 1{,}2=\log 12-\log 10, [/latex] [latex] \log 12=\log(4\cdot 3)=\log 4+\log 3=2\log 2+\log 3. [/latex]

Logo,

[latex] \log 1{,}2=(2\log 2+\log 3)-1. [/latex]

5) Aproximações usuais

[latex]\log 2\approx 0{,}30,\quad \log 3\approx 0{,}48,\quad \log 10=1.[/latex]

6) Conta final

[latex] \log 1{,}2\approx (2\cdot 0{,}30+0{,}48)-1= (0{,}60+0{,}48)-1=0{,}08, [/latex] [latex] t\approx \dfrac{0{,}48}{0{,}08}=6\ \text{horas}. [/latex]

Conclusão

[latex]\boxed{t=6\ \text{horas}}[/latex]

Alternativa (e) 6.

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Observações úteis

• A forma [latex]P(t)=P_0\cdot(1+r)^t[/latex] modela crescimento percentual por período; aqui [latex]r=0{,}2=20%[/latex].
• O alvo 30 000 é triplo de 10 000; por isso resolvemos [latex]^t=3[/latex].
• Conferência em qualquer base: [latex]t=\dfrac{\ln 3}{\ln 1{,}2}\approx 6{,}03[/latex] (coincide com a aproximação por log decimal).