CESGRANRIO 2024: quantas soluções reais tem 4^x − 5·2^x − 6 = 0?

Considere a equação:

[latex]4^{x} - 5\cdot 2^{x} - 6 = 0[/latex]

Pergunta: Quantas soluções reais distintas essa equação possui?

1) Reescreva e substitua

[latex]4^{x} = (2^{2})^{x} = 2^{2x}[/latex]. Faça [latex]t = 2^{x}[/latex] (com [latex]t>0[/latex]).

A equação vira:

[latex]t^{2} - 5t - 6 = 0[/latex]

2) Resolva a quadrática

Fatorando:

[latex] (t+1)=0 \quad \Rightarrow\quad t=6\ \text{ou}\ t=-1[/latex]

3) Cheque o domínio

Como [latex]t=2^{x}>0[/latex], a raiz [latex]t=-1[/latex] não vale.

Fica:

[latex]t=6 \ \Rightarrow\ 2^{x}=6 \ \Rightarrow\ x=\log_{2}6 \approx 2{,}585[/latex]

Conclusão

Existe apenas uma solução real.

[latex]\boxed{\text{Número de soluções reais} = 1}[/latex]

Comentários rápidos

Valor aproximado da raiz: [latex]x\approx 2{,}585[/latex].

A troca [latex]t=2^x[/latex] transforma a exponencial em quadrática em t

Sempre verifique o domínio ([latex]t>0[/latex]) para não contar raízes inválidas.

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