Tensão–Deformação: definições, escoamento, UTS, estricção (carga máxima) e critérios multiaxiais

Tensão–Deformação (uniaxial): do conceito ao projeto

Para quem projeta, compreender a curva \(\sigma\)–\(\varepsilon\) é base: a partir de um ensaio simples de tração/compressão extraímos rigidez (trecho elástico), limite de escoamento, resistência à tração (UTS), estricção e ductilidade. Com isso escolhemos materiais, definimos margens de segurança e verificamos componentes.

Fundamentos Tresca · von Mises · Carga máxima ASTM E8 · ISO 6892-1

1) Definições diretas e por que importam

Tensão é força por unidade de área. Em tração uniaxial usa-se a tensão de engenharia \(\sigma=P/A_0\), em que \(P\) é a força e \(A_0\) a área inicial. Unidades: MPa no SI (1 MPa = 1 N/mm²); em catálogos também aparecem psi e ksi (1 MPa ≈ 145,038 psi; 1 ksi ≈ 6,895 MPa).

Deformação é a variação relativa de comprimento. Engenharia: \(e=\Delta L/L_0\). Grandezas verdadeiras (para análise além do elástico e até a estricção): \(\varepsilon_\mathrm{v}=\ln(1+e)\) e \(\sigma_\mathrm{v}=P/A_\text{inst}\). Antes da localização, com volume quase constante, vale \(\sigma_\mathrm{v}\approx\sigma(1+e)\).

Trecho elástico (uniaxial): \(\sigma = E\,e\).
Interpretação: \(E\) é a rigidez do material (inclinação da parte proporcional). Depende do tipo de ligação e da densidade atômica; é praticamente constante até o escoamento. No projeto, \(E\) governa deslocamentos/deflexões e frequências naturais.

Isotrópico 3D (Lei de Hooke): \(\sigma_{ij}=2G\,\varepsilon_{ij}+\lambda\,\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\), com \(G=\dfrac{E}{2(1+\nu)}\) e \(K=\dfrac{E}{3(1-2\nu)}\).

Boas práticas: determinar \(E\) com extensômetro (ASTM E8/ISO 6892-1), registrar \(\nu\) adotado, unidade sempre em MPa; converter quando necessário.

2) Curva \(\sigma\)–\(\varepsilon\): leitura com precisão

Região proporcional (elástica): reta de inclinação \(E\). Termina no limite proporcional, quando a linearidade se perde.
Escoamento: início de deformação plástica mensurável. Em aços baixo C pode haver platô com \(R_{eH}\) (superior) e \(R_{eL}\) (inferior). Quando não há platô nítido, adota-se \(R_{p0,2}\) (offset 0,2%).
Encruamento: a tensão aumenta com a deformação plástica por interação de discordâncias; leis típicas: Hollomon \(\sigma_\mathrm{v}=K\,\varepsilon_\mathrm{v}^{\,n}\) e Ramberg–Osgood.
UTS (\(R_m\)): máxima tensão de engenharia (pico da carga). Marca a transição para a estricção.
Estricção (necking): formação do “pescoço”, redução local de área e concentração da deformação. Inicia na condição da carga máxima (Seção 3).
Ruptura: fim do ensaio. Reporte também a redução de área \(Z=(S_0-S_u)/S_0\) e o alongamento percentual à ruptura.

3) Estricção e condição da carga máxima (sin.: “Considère”)

Estricção é a localização da deformação com redução acentuada de área. O início da estricção difusa ocorre quando a capacidade de encruamento iguala a perda de seção.

Condição da carga máxima: \[ \frac{d\sigma_\mathrm{v}}{d\varepsilon_\mathrm{v}}=\sigma_\mathrm{v} \] (antes da localização, com \(A\,L\approx\) constante). Em muitas referências aparece como “critério de Considère”.

Hollomon \(\sigma_\mathrm{v}=K\,\varepsilon_\mathrm{v}^{\,n}\) ⇒ deformação verdadeira uniforme no pico \(\varepsilon_\mathrm{v}^{\*}=n\).

Consequência: a conversão engenharia↔verdadeira com volume constante vale até a estricção; depois a análise é local (no “pescoço”).

4) Tresca × von Mises (critérios de escoamento multiaxial)

Quando há vários componentes de tensão, usamos uma tensão equivalente e comparamos com \(\sigma_y\) medido em tração. Os critérios clássicos para metais dúcteis isotrópicos são:

von Mises (energia de distorção): \[ \sigma_\mathrm{eq}=\sqrt{\tfrac{3}{2}\,s_{ij}s_{ij}},\qquad s_{ij}=\sigma_{ij}-\tfrac{1}{3}\sigma_{kk}\delta_{ij}. \] Plano de tensão (\(\sigma_z=0\)): \[ \sigma_\mathrm{eq}=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2-\sigma_x\sigma_y+3\tau_{xy}^2}. \] Tresca (máxima tensão de cisalhamento): \[ \max|\sigma_i-\sigma_j|=\sigma_y. \]

Em cisalhamento puro: von Mises ⇒ \(\tau_y=\sigma_y/\sqrt{3}\); Tresca ⇒ \(\tau_y=\sigma_y/2\) (mais conservador).
Geometria do domínio de escoamento: círculo no plano-\(\pi\) (von Mises) vs. hexágono (Tresca).
Na prática, von Mises ajusta melhor dados de metais policristalinos; Tresca é útil como limite seguro ou para cálculo manual rápido.

5) Normas e boas práticas

ASTM E8/E8M e ISO 6892-1: corpos de prova, taxas (na ISO prioriza-se controle de deformação), determinação de \(E\), \(R_{eH}/R_{eL}\), \(R_{p0,2}\), \(R_m\), alongamento e \(Z\). Corpos proporcionais: \(L_0=5{,}65\sqrt{S_0}\).
Metrologia: extensômetro no trecho elástico; correção de conformidade; alinhamento; temperatura; registrar orientação (RD/TD/ND) e condição metalúrgica (TT/solda/laminação).
Unidades: padronize em MPa (vírgula decimal, ponto de milhar). Ofereça conversões quando necessário.

6) Calculadoras (o que fazem e quando usar)

A) Conversor: MPa, Pa, psi e ksi — para ler catálogos internacionais.
B) \(\sigma=F/A_0\): estima tensão de engenharia em barras/chapas com seção simples.
C) Eng↔Verdadeira: calcula \(e\), \(\varepsilon_\mathrm{v}\), \(\sigma\) e \(\sigma_\mathrm{v}\) — útil até o início da estricção.
D) \(\sigma_{0,2\%}\): obtém limite por Ramberg–Osgood quando só há dados de \(E,K,n\).
E) von Mises (plano): tensão equivalente para comparação com \(\sigma_y\) em estados planos.

A) MPa ↔ Pa ↔ psi ↔ ksi

Valor

Para

Resultado
—

Fórmula
1 MPa = 145,0377 psi

SI
1 MPa = 1 N/mm²

Dica
Padronize o relatório em MPa

B) \(\sigma = F/A_0\) (engenharia)

Força \(F\) (N)

Área \(A_0\) (mm²)

Seção

Dimensão 1 (mm) — b ou d

Dimensão 2 (mm) — t

Área calculada (mm²)

\(\sigma\) (MPa)
—

Estado
—

Comparação
—

Obs.
1 MPa = 1 N/mm²

C) Engenharia ↔ Verdadeira

\(L_0\) (mm)

\(L\) (mm)

Força \(P\) (N)

\(A_0\) (mm²)

Volume ≈ constante?

Info

\(e\)
—

\(\varepsilon_\mathrm{v}\)
—

\(\sigma\) MPa
—

\(\sigma_\mathrm{v}\) MPa
—

D) \(\sigma_{0,2\%}\) (Ramberg–Osgood)

Modelo: \(\varepsilon = \sigma/E + (\sigma/K)^{1/n}\). Resolve \(\sigma\) para \(\varepsilon=0,002\).

\(E\) (GPa)

\(K\) (MPa)

\(n\)

\(\sigma_{0,2\%}\)
—

Obs.
Estimativa; o valor normativo vem do ensaio real.

Referência
ISO 6892-1 · ASTM E8

Dica
Informe a condição metalúrgica

E) von Mises (estado plano)

\(\sigma_x\) (MPa)

\(\sigma_y\) (MPa)

\(\tau_{xy}\) (MPa)

\(\sigma_\mathrm{eq}\) (MPa)
—

Comparação
—

Critério
\(\sigma_\mathrm{eq}\ge\sigma_y \Rightarrow\) plastificação

Nota
Plano: \(\sigma_z=0\)

7) Glossário PT–EN

Português	Inglês	Observação
Tensão (engenharia)	Engineering stress	\(\sigma=P/A_0\)
Deformação (engenharia)	Engineering strain	\(e=\Delta L/L_0\)
Tensão verdadeira	True stress	\(\sigma_\mathrm{v}=P/A_\text{inst}\)
Deformação verdadeira	True (log) strain	\(\varepsilon_\mathrm{v}=\ln(1+e)\)
Módulo elástico	Young’s modulus	\(E\)
Coef. de Poisson	Poisson’s ratio	\(\nu\)
Limite de escoamento	Yield strength	\(\sigma_y\) ou \(R_{p0,2}\)
Resistência à tração	Ultimate tensile strength (UTS)	\(R_m\)
Estricção (estricamento)	Necking	redução local de área
Condição da carga máxima (Considère)	Maximum load condition (Considère)	\(d\sigma_\mathrm{v}/d\varepsilon_\mathrm{v}=\sigma_\mathrm{v}\)
von Mises	von Mises yield criterion	energia de distorção
Tresca	Tresca (maximum shear)	máx. cisalhamento
Redução de área	Reduction of area	\(Z=(S_0-S_u)/S_0\)

8) Referências essenciais

ASTM E8/E8M — Standard Test Methods for Tension Testing of Metallic Materials.
ISO 6892-1 — Metallic materials — Tensile testing — Part 1: Method of test at room temperature.
Dieter, G. E. — Mechanical Metallurgy, 3ª ed., McGraw-Hill.
Dowling, N. — Mechanical Behavior of Materials, 4ª ed., Pearson.
Hertzberg, R. — Deformation and Fracture of Engineering Materials, Wiley.
Hosford & Caddell — Metal Forming: Mechanics and Metallurgy, Cambridge.
Reed-Hill & Abbaschian — Physical Metallurgy Principles.

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