Sobre o eixo x, ocorre uma colisão frontal elástica entre os corpos A e B, de massas mA=4,0 kg, e mB=2,0 kg . O corpo A movia-se para a direita a 2,0 m/s enquanto B movia-se para a esquerda a 10 m/s.

(PUCSP) Sobre o eixo [latex]x[/latex], ocorre uma colisão frontal elástica entre os corpos [latex]A[/latex] e [latex]B[/latex], de massas [latex]m_A = 4,0 , \text{kg}[/latex] e [latex]m_B = 2,0 , \text{kg}[/latex]. O corpo [latex]A[/latex] move-se para a direita a [latex]2,0 , \text{m/s}[/latex], enquanto [latex]B[/latex] move-se para a esquerda a [latex]10 , \text{m/s}[/latex]. Imediatamente após a colisão:

a) [latex]B[/latex] se moverá para a direita, a [latex]12 , \text{m/s}[/latex].
b) [latex]B[/latex] se moverá para a esquerda, a [latex]8,0 , \text{m/s}[/latex].
c) [latex]A[/latex] e [latex]B[/latex] se moverão juntos, a [latex]2,0 , \text{m/s}[/latex].
d) [latex]A[/latex] se moverá para a esquerda, a [latex]6,0 , \text{m/s}[/latex].
e) [latex]A[/latex] se moverá para a esquerda, a [latex]12 , \text{m/s}[/latex].

1. Conservação da Quantidade de Movimento:

A fórmula para a conservação da quantidade de movimento é:

[latex] m_A \cdot v_{A1} + m_B \cdot v_{B1} = m_A \cdot v_{A2} + m_B \cdot v_{B2} [/latex]

Substituímos os valores fornecidos:

[latex] (4)(2) + (2)(-10) = (4)v_{A2} + (2)v_{B2} [/latex]

[latex] 8 - 20 = 4v_{A2} + 2v_{B2} [/latex]

[latex] -12 = 4v_{A2} + 2v_{B2} [/latex]

2. Conservação da Energia Cinética:

A energia cinética também é conservada:

[latex] \frac{1}{2} m_A \cdot v_{A1}^2 + \frac{1}{2} m_B \cdot v_{B1}^2 = \frac{1}{2} m_A \cdot v_{A2}^2 + \frac{1}{2} m_B \cdot v_{B2}^2 [/latex]

Eliminamos os fatores [latex]\frac{1}{2}[/latex] e substituímos os valores:

[latex] (4)(2^2) + (2)(-10^2) = (4)v_{A2}^2 + (2)v_{B2}^2 [/latex]

[latex] (4)(4) + (2)(100) = (4)v_{A2}^2 + (2)v_{B2}^2 [/latex]

[latex] 16 + 200 = 4v_{A2}^2 + 2v_{B2}^2 [/latex]

[latex] 216 = 4v_{A2}^2 + 2v_{B2}^2 [/latex]

3. Resolvendo o Sistema de Equações:

Usando as equações (1) e (2), vamos isolar [latex]v_{B2}[/latex] em (1):

[latex] 4v_{A2} + 2v_{B2} = -12 [/latex]

[latex] 2v_{B2} = -12 - 4v_{A2} [/latex]

[latex] v_{B2} = -6 - 2v_{A2} [/latex]

Substituímos [latex]v_{B2}[/latex] da equação (3) em (2):

[latex] 216 = 4v_{A2}^2 + 2(-6 - 2v_{A2})^2 [/latex]

[latex] 216 = 4v_{A2}^2 + 2(36 + 24v_{A2} + 4v_{A2}^2) [/latex]

[latex] 216 = 4v_{A2}^2 + 72 + 48v_{A2} + 8v_{A2}^2 [/latex]

[latex] 216 = 12v_{A2}^2 + 48v_{A2} + 72 [/latex]

[latex] 12v_{A2}^2 + 48v_{A2} - 144 = 0 [/latex]

Dividimos por 12:

[latex] v_{A2}^2 + 4v_{A2} - 12 = 0 [/latex]

4. Resolvendo a Equação Quadrática:

Utilizamos Bhaskara:

[latex] v_{A2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} [/latex]

Com [latex]a = 1[/latex], [latex]b = 4[/latex], [latex]c = -12[/latex]:

[latex] v_{A2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-12)}}{2(1)} [/latex]

[latex] v_{A2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} [/latex]

[latex] v_{A2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} [/latex]

[latex] v_{A2} = \frac{-4 \pm 8}{2} [/latex]

Duas soluções:

[latex] v_{A2} = \frac{-4 + 8}{2} = 2 , \text{m/s} [/latex]

[latex] v_{A2} = \frac{-4 - 8}{2} = -6 , \text{m/s} [/latex]

5. Determinando [latex]v_{B2}[/latex]:

Para [latex]v_{A2} = -6 , \text{m/s}[/latex]:

[latex] v_{B2} = -6 - 2(-6) [/latex]

[latex] v_{B2} = -6 + 12 = 6 , \text{m/s} [/latex]

6. Conclusão:

Após a colisão:

O corpo [latex]A[/latex] move-se para a esquerda a [latex]6 , \text{m/s}[/latex].
O corpo [latex]B[/latex] move-se para a direita a [latex]6 , \text{m/s}[/latex].

Resposta correta: [latex]\mathbf{D}[/latex].

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