Como resolver uma questão com tangente em triângulos — Questão da UFPA resolvida passo a passo

Vamos resolver a seguinte questão:

(UFPA) No triângulo ABC, ao lado, as medidas [latex] \alpha [/latex] e [latex] \beta [/latex] dos ângulos [latex] \angle CÂB [/latex] e [latex] \angle CBA [/latex], respectivamente, são tais que [latex] \tan(\alpha) = 3 [/latex] e [latex] \tan(\beta) = 2 [/latex]. A medida do segmento [latex] CD [/latex] é:

🔎 1º passo: Construção dos triângulos auxiliares

Traçamos a altura [latex] CD = h [/latex] do triângulo ABC, que forma dois triângulos retângulos:

• Triângulo [latex] ACD [/latex], com [latex] \tan(\alpha) = \frac{h}{x} [/latex]
• Triângulo [latex] BCD [/latex], com [latex] \tan(\beta) = \frac{h}{30 - x} [/latex]

✏️ 2º passo: Aplicação das tangentes

Sabemos:

[latex] \tan(\alpha) = 3 \Rightarrow \frac{h}{x} = 3 \Rightarrow x = \frac{h}{3} [/latex]