Sistema de Equações do 1º Grau
(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.
Sistema de Equações
Um sistema de equações nada mais é do que o conjunto de equações polinomiais que são consideradas simultaneamente para sua resolução. Um sistema é utilizado para a resolução de problemas que envolvam duas ou mais variáveis.
Já um sistemas de equações polinomiais de 1º grau é formado por duas equações de 1º grau com duas diferentes incógnitas cada uma.
Um sistema de equações do 1º grau é representado da seguinte forma:
[latex] \begin{cases}x+y=10\\ 2x+y=15\end{cases} [/latex]
Resolução pelo método da substituição
Um dos métodos de resolução de um sistema de equações de 1º grau (talvez o mais recorrido), é o da substituição. Ele consiste em isolar uma das incógnitas e substituí-la na outra equação.
Retornando ao exemplo anterior, podemos isolar tanto [latex] x [/latex] quanto [latex] y [/latex]. Então iremos isolar [latex] x [/latex]
[latex] \begin{cases}x+y=10\rightarrow \left( 1\right) \\ 2x+y=15\rightarrow \left( 2\right) \end{cases} [/latex]
[latex] \left( 1\right) \rightarrow x+y=10 [/latex]
[latex] \left( 1\right) \rightarrow x=10-y [/latex]
Agora substituindo (1) em (2), teremos:
[latex] \left( 1\right) \rightarrow \left( 2\right) [/latex]
[latex] \begin{cases}2x+y=15\\ 2\left( 10-y\right) +y=15\\ 20-2y+y=15\\ 20-y=35\\ 20-15=y\\ 5=y\\ y=5\end{cases} [/latex]
Uma vez encontrado o valor de uma das incógnitas, neste caso o [/latex] y [/latex], voltamos a substituí-lo em (1) ou em (2).
Substituindo em (1), teremos:
[latex] \begin{cases}x+y=10\\ x+\left( 5\right) =10\\ x+5=10\\ x=10^{-5}\\ x=5\end{cases} [/latex]
Desta forma encontramos os valores das incógnitas. Sendo [latex] x=5 [/latex] e [latex] y=5 [/latex]. Ou ainda na forma do conjunto solução [latex] S=(5,5) [/latex] .
Resolução pelo método da adição
A resolução pelo método da adição consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja igual a zero. Para isso, pode ser necessário multiplicar uma ou as duas equações para que a soma de uma das incógnitas seja igual a zero.
Retornando ao nosso exemplo anterior, vamos multiplicar a equação (1) por [latex] -1 [/latex] para que [latex] y [/latex] mude de sinal.
[latex] \begin{cases}x+y=10\\ 2x+y=15\end{cases} [/latex]
[latex] \begin{cases}x+y=10.\left( -1\right) \\ 2x+y=15\end{cases} [/latex]
[latex] \begin{cases}-x-y=-10\\ 2x+y=15\end{cases} [/latex]
Fazendo a adição das duas equações:
[latex] \begin{cases}-x-y=-10\\ \dfrac{2x+y=15}{x=5}\end{cases} [/latex]
Assim como no método de substituição, agora basta substituir o valor encontrado ([latex] x=5 [/latex] ) em uma das equações e encontrar o valor de [latex] y [/latex] .
[latex] \begin{array}{r|l}
& 2x+y=15 \\
& 2.(5) + y = 15 \\
& 10 + y = 15 \\
& y=15-10 \\
&y=5
\end{array} [/latex]
Desta forma determinamos os valores para [latex] x=5 [/latex] e [latex] y=5 [/latex]
