Polígonos Regulares
Polígonos: Definições e Propriedades
O que é um Polígono?
Um polígono é uma figura geométrica plana composta por uma sequência de segmentos de reta que formam uma linha fechada. Cada segmento é chamado de lado do polígono, e os pontos onde dois lados se encontram são chamados de vértices. A região interna do polígono é delimitada por esses lados, e a soma dos lados dá a sua perímetro.
Classificação dos Polígonos
Os polígonos podem ser classificados de diferentes maneiras, de acordo com o número de lados ou pela regularidade de seus ângulos e lados.
- Polígonos Regulares:
- São aqueles cujos lados e ângulos são todos congruentes, ou seja, têm o mesmo comprimento e mesma medida de ângulo interno. Esses polígonos são simétricos, e cada um dos seus lados e ângulos é idêntico.
- Exemplos de polígonos regulares: Triângulo equilátero (3 lados), quadrado (4 lados), pentágono regular (5 lados), hexágono regular (6 lados), etc.
- Polígonos Não Regulares:
- São aqueles que não têm lados ou ângulos congruentes. Ou seja, seus lados podem ter diferentes comprimentos, e os ângulos internos podem ter diferentes medidas.
- Exemplos de polígonos não regulares: Triângulos isósceles ou escaleno, retângulo, pentágono irregular, etc.
1. Ângulo Externo
O ângulo externo de um polígono é o ângulo formado pela extensão de um lado e o lado adjacente. Em qualquer polígono regular, todos os ângulos externos são iguais. A soma dos ângulos externos de qualquer polígono, regular ou não, é sempre [latex] 360^\circ [/latex] .
A fórmula para calcular o valor de cada ângulo externo [latex] (a_e) [/latex] de um polígono regular é:
[latex] a_e = \frac{360^\circ}{n} [/latex]
Onde:
- (n) é o número de lados do polígono.
Para polígonos não regulares, a soma dos ângulos externos também é (360^\circ), mas os ângulos individuais variam de acordo com a forma do polígono.
2. Ângulo Interno
O ângulo interno de um polígono é o ângulo formado entre dois lados consecutivos no interior da figura. Para polígonos regulares, todos os ângulos internos são iguais, enquanto em polígonos não regulares, os ângulos internos podem variar.
A soma dos ângulos internos ((S_i)) de qualquer polígono, regular ou não, pode ser encontrada pela fórmula:
[latex] S_i = (n - 2) \times 180^\circ [/latex]
Onde:
- (n) é o número de lados do polígono.
Para polígonos regulares, o valor de cada ângulo interno ((a_i)) pode ser calculado como:
[latex] a_i = \frac{S_i}{n} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n} [/latex]
.
3. Diferença entre Ângulos Internos e Externos
A soma do ângulo interno [latex] (a_i) [/latex] e do ângulo externo [latex] (a_e) [/latex] de qualquer vértice em um polígono regular sempre é [latex] 180^\circ [/latex] . Isso é consequência direta do fato de que os ângulos internos e externos são suplementares:
[latex] a_i + a_e = 180^\circ [/latex]
Essa relação é válida tanto para polígonos regulares quanto para os não regulares.
4. Número de Lados
O número de lados de um polígono regular pode ser determinado se conhecemos o valor do ângulo externo ou do ângulo interno.
Se soubermos o ângulo externo [latex] (a_e) [/latex] :
[latex] n = \frac{360^\circ}{a_e} [/latex]
Se soubermos o ângulo interno [latex] (a_i) [/latex] :
[latex] n = \frac{S_i}{180^\circ} + 2 = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{a_i} + 2 [/latex]
5. Soma dos Ângulos Externos
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono, regular ou não, é sempre [latex] (360^\circ) [/latex] . Isso vale para todos os polígonos, independentemente do número de lados.
[latex] S_e = 360^\circ [/latex]
6. Soma dos Ângulos Internos
A soma dos ângulos internos [latex] (S_i) [/latex] de qualquer polígono depende do número de lados [latex] (n) [/latex] . A fórmula é:
[latex] S_i = (n - 2) \times 180^\circ [/latex]
Por exemplo:
- Um triângulo (3 lados) tem soma dos ângulos internos igual a [latex] (180^\circ) [/latex] ,
- Um quadrilátero (4 lados) tem soma dos ângulos internos igual a [latex] (360^\circ) [/latex] ,
- Um pentágono (5 lados) tem soma dos ângulos internos igual a [latex] (540^\circ) [/latex] .
7. Número de Diagonais
As diagonais de um polígono são segmentos que conectam dois vértices não consecutivos. O número de diagonais [latex] (d) [/latex] de um polígono depende do número de lados [latex] (n) [/latex] e pode ser calculado pela fórmula:
[latex] d = \frac{n \times (n - 3)}{2} [/latex]
Essa fórmula se aplica tanto a polígonos regulares quanto a polígonos não regulares.
Com essas explicações detalhadas, fica mais claro como calcular as principais características dos polígonos, tanto regulares quanto não regulares. Lembre-se de que os polígonos regulares são simétricos e têm propriedades que facilitam os cálculos, enquanto os não regulares exigem análise individual de seus ângulos e lados.
Confira as principais fórmulas para os polígonos regulares.
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