Como resolver a equação sen(α) = 2 cos(α) – Questão da UFMG resolvida passo a passo - CLASSE TECH

Neste exercício, vamos aplicar a fórmula da área de um triângulo com o uso de razões trigonométricas.

Enunciado:
No triângulo abaixo, as medidas, em metros, dos catetos AB e AC são [latex] 2x [/latex] e [latex] x+3 [/latex], respectivamente, e
[latex] sen(\theta) = 2\cos(\theta) [/latex].
A área deste triângulo é:

Para resolver essa questão, precisaremos:

Utilizar a relação entre seno e cosseno para determinar [latex] \theta [/latex];
Calcular o seno de [latex] \theta [/latex] corretamente;
Aplicar a fórmula da área de um triângulo com dois lados e o seno do ângulo entre eles:
[latex] A = \frac{1}{2}ab [/latex].

Neste vídeo, resolvemos passo a passo a questão envolvendo a área de um triângulo com catetos em função de [latex] x [/latex] e uma relação trigonométrica entre seno e cosseno.
Ideal para quem está estudando trigonometria no triângulo retângulo e oblíquo e quer dominar a aplicação da fórmula da área com razões trigonométricas.

📺 Assista agora ao vídeo completo no canal Classe Tech:
https://www.youtube.com/watch?v=7hhMFX9U7Po

seguir está a resolução passo a passo detalhada da questão da UFMG sobre a área do triângulo:

🧠 Resolução Passo a Passo – Questão da UFMG

Temos um triângulo retângulo com os catetos dados:

[latex] AB = 2x [/latex]
[latex] AC = x + 3 [/latex]
E a relação: [latex] sen(\alpha) = 2\cos(\alpha) [/latex]

Nosso objetivo é encontrar a área do triângulo. Para isso, precisamos encontrar o valor de [latex] x [/latex] e, com os lados conhecidos, aplicar a fórmula da área.

🔹 Etapa 1: Usar a identidade trigonométrica fundamental

Sabemos que:

[latex] sen^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 [/latex]
e que [latex] sen(\alpha) = 2\cos(\alpha) [/latex], então:

[latex] (2\cos(\alpha))^2 + \cos^2(\alpha) = 1 [/latex]
[latex] 4\cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 [/latex]
[latex] 5\cos^2(\alpha) = 1 [/latex]
[latex] \cos^2(\alpha) = \frac{1}{5} [/latex]

[latex] \cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}} [/latex]

🔹 Etapa 2: Encontrar o seno de α

Pela relação dada:

[latex] sen(\alpha) = 2 \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} [/latex]

🔹 Etapa 3: Usar a tangente

Sabemos que:

[latex] \tg(\alpha) = \frac{sen(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = 2 [/latex]

Mas também temos, a partir do triângulo:

[latex] \tg(\alpha) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \frac{x+3}{2x} [/latex]

Igualando:

[latex] \frac{x+3}{2x} = 2 [/latex]
[latex] x + 3 = 4x [/latex]

[latex] 3x = 3 \Rightarrow x = 1 [/latex]

🔹 Etapa 4: Calcular os lados

Agora que sabemos que [latex] x = 1 [/latex], temos:

[latex] AB = 2x = 2(1) = 2 , \text{m} [/latex]
[latex] AC = x + 3 = 1 + 3 = 4 , \text{m} [/latex]

🔹 Etapa 5: Calcular a área

Como o triângulo é retângulo, podemos usar:

[latex] A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{2 \cdot 4}{2} = \frac{8}{2} = 4 , \text{m}^2 [/latex]

✅ Resposta final:

[latex] \boxed{4 , \text{m}^2} [/latex]

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