Como resolver sen²x = 3/4 no intervalo de 0° a 720°? Veja a solução completa!
Como resolver [latex] sen^2{x} = \frac{3}{4} [/latex] no intervalo [latex] 0^\circ \leq x < 720^\circ [/latex] com simetria no ciclo trigonométrico
Descrição do post:
Nesta resolução completa, mostramos como resolver a equação [latex] sen^2{x} = \frac{3}{4} [/latex] utilizando a relação fundamental [latex] sen^2{x} + \cos^2{x} = 1 [/latex], a simetria dos ângulos no ciclo trigonométrico e o intervalo de duas voltas (de [latex] 0^\circ [/latex] até [latex] 720^\circ [/latex]).
🎥 Confira o vídeo com a explicação completa:
🔗 https://youtu.be/c6zAN8Efu_A
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1º Passo – Usando a relação fundamental da trigonometria
Sabemos que:
[latex] sen^2{x} + \cos^2{x} = 1 [/latex]
Substituímos o valor:
[latex] \frac{3}{4} + \cos^2{x} = 1 \Rightarrow \cos^2{x} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} [/latex]
Extraindo a raiz:
[latex] \cos{x} = \pm \frac{1}{2} [/latex]
Sabemos que:
[latex] \cos{60^\circ} = \frac{1}{2} [/latex]
Então, o ângulo principal é [latex] 60^\circ [/latex].
2º Passo – Encontrando os ângulos simétricos
Usamos as fórmulas para ângulos simétricos (com base em 60°):
- 2º quadrante: [latex] 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ [/latex]
- 3º quadrante: [latex] 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ [/latex]
- 4º quadrante: [latex] 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ [/latex]
3º Passo – Verificando o sinal
Como temos [latex] sen^2{x} = \frac{3}{4} [/latex], e qualquer número ao quadrado é positivo, todos os quadrantes são válidos.
Ou seja, os ângulos [latex] 60^\circ, 120^\circ, 240^\circ, 300^\circ [/latex] satisfazem a equação.
4º Passo – Considerando o intervalo de 0° a 720° (duas voltas)
Basta somar 360° a cada solução encontrada:
- [latex] 60^\circ + 360^\circ = 420^\circ [/latex]
- [latex] 120^\circ + 360^\circ = 480^\circ [/latex]
- [latex] 240^\circ + 360^\circ = 600^\circ [/latex]
- [latex] 300^\circ + 360^\circ = 660^\circ [/latex]
🔚 Soluções finais:
[latex] {60^\circ,\ 120^\circ,\ 240^\circ,\ 300^\circ,\ 420^\circ,\ 480^\circ,\ 600^\circ,\ 660^\circ} [/latex]
