Por que a relação x² + y² = 1 NÃO é uma função? Entenda com justificativa gráfica!

A relação [latex] R = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 = 1} [/latex] representa todos os pares ordenados cujas coordenadas satisfazem a equação de uma circunferência com centro na origem e raio 1.

A pergunta é: essa relação é uma função?
Para ser função, cada valor de [latex] x [/latex] deve estar associado a um único valor de [latex] y [/latex]. Será que isso acontece com um círculo?

Descrição (com link do vídeo e latex no enunciado):
📺 Assista ao vídeo com a explicação completa: https://youtu.be/NlMDw_20SnA

A relação [latex] R = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 = 1} [/latex] representa uma função? Justifique sua resposta.

Resolução passo a passo:

Sabemos que a equação [latex] x^2 + y^2 = 1 [/latex] representa uma circunferência de raio 1 e centro na origem no plano cartesiano.

1º passo: interpretar a equação

A relação [latex] R [/latex] inclui todos os pares ordenados que satisfazem essa equação. Isso forma uma figura fechada e simétrica no plano: uma circunferência.

2º passo: lembrar a definição de função

Uma relação é uma função se, para cada valor de x, houver apenas um valor de y associado.

3º passo: aplicar o teste da reta vertical

Visualmente, ao traçar uma reta vertical (reta paralela ao eixo y), ela intersecta a circunferência em dois pontos diferentes, em geral.

Exemplo: para [latex] x = 0.5 [/latex], temos:

[latex] x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow (0.5)^2 + y^2 = 1 \Rightarrow 0.25 + y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = 0.75 \Rightarrow y = \pm \sqrt{0.75} [/latex]

Ou seja, o mesmo valor de [latex] x [/latex] (0.5) se relaciona com dois valores de [latex] y [/latex]: um positivo e outro negativo.

Conclusão:

A relação [latex] R = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 = 1} [/latex] não é uma função, porque um mesmo valor de x pode estar associado a dois valores de y diferentes.

Portanto, a resposta é: NÃO, essa relação não representa uma função.

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